（2013•怀化二模）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+y2b2=1（0＜b＜1）的左焦点为F，左、右顶点分别为A

解题思路：（Ⅰ）由椭圆的方程知a=1，根据线段CF是圆P的直径，求出c的值，即求椭圆的离心率；
（Ⅱ）利用圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，确定P的坐标，根据圆P的圆心在直线x+y=0上，求出基本量，即可求椭圆的方程；
（Ⅲ）直线y=x+t与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出|MN|•|OQ|，利用基本不等式，可求最大值．

（Ⅰ）由椭圆的方程知a=1，∴点B（0，b），C（1，0），设F的坐标为（-c，0），
∵FC是圆P的直径，∴FB⊥BC，
∵kBC＝−b，kBF＝
b
c，∴−b•
b
c＝−1…（2分）
∴b²=c=1-c²，c²+c-1=0解得c＝

5−1
2，
∴椭圆离心率e＝
c
a＝

5−1
2…（4分）
（Ⅱ）∵圆P过点F，B，C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为x＝
1−c
2①
∵BC的中点为(
1
2，
b
2)，kBC＝−b，∴BC的垂直平分线方程为y−
b
2＝
1
b(x−
1
2)②
由①②得x＝
1−c
2，y＝
b2−c
2b，即P(
1−c
2，
b2−c
2b)…（7分）．
∵P在直线x+y=0上，∴[1−c/2+
b2−c
2b＝0⇒(1+b)(b−c)＝0，
∵1+b＞0，∴b=c．
由b²=1-c²得b2＝
1
2]，∴椭圆的方程为x²+2y²=1…（9分）
（Ⅲ）由

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，确定椭圆的方程是关键．