已知F是椭圆x2/a2+y2/b2=1的一个焦点B是椭圆短轴端点椭圆的离心率为1/2 点C在x轴上 BC垂直于BF 且三

﹙1﹚、由双曲线方程y²／2－x²＝1得,双曲线的长轴a＝√2,b＝1,c＝√3,∴双曲线的焦点为﹙√3,0﹚或﹙﹣√3,0﹚,∵椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,∴椭圆的短轴b＝√3,∵椭圆的离心率e＝1／2,∴c／a＝1／2,∴b＝√﹙a²－c²﹚＝√3c,∴c＝1,∴a＝2,∴椭圆方程为x²／4＋y³／3＝1；﹙2﹚设直线l的方程为y＝kx－4k,设A﹙x1,kx1－4k﹚,B﹙X2,kx2－4k﹚,∵A、B是直线l与椭圆的交点,∴由y＝kx－4k,与x²／4＋y²／3＝1得：﹙4k²＋3﹚x²－32k²x²＋64k²－12＝0,∵x1,x2是该方程的两个实数根,∴x1＋x2＝32k²／﹙4k²＋3﹚,x1x2＝﹙64k²－12﹚／﹙4k²＋3﹚,Δ＝﹙﹣32k²﹚²－4﹙4k²＋3﹚﹙64k²－12﹚＞0,∴﹣1／2＜k＜1／2,∴向量OA·向量OB＝x1x2＋﹙kx1－4k﹚·﹙kx2－4k﹚＝﹙k²＋1﹚x1x2－4k²﹙x1＋x2﹚＋16k²＝﹙k²＋1﹚×﹙64k²－12﹚／﹙4k²＋3﹚－4k²×32k²／﹙4k²＋3﹚＋16k²＝﹙100k²－12﹚／﹙4k²＋3﹚＝[25﹙4k²＋3﹚－87]／﹙4k²＋3﹚＝25－87／﹙4k²＋3﹚,∵﹣1／2＜k＜1／2,∴0≦k²＜1／4,∴3≦4k²＋3＜4∴87／4＜87／﹙4k²＋3﹚≦29,∴25－29＝﹣4≦25－87／﹙4k²＋3﹚＜25－87／4＝13／4,∴向量OA·向量OB的取值范围是[﹣4,13／4﹚