如何证明一个矩阵不同特征值对应特征向量正交,是不是很麻烦过程

该命题成立的前提是A是对称阵
设c1,c2是两个A的不同特征值,x,y分别是其对应的特征向量,有
A * x = c1 * x
A * y = c2 * y
分别取转置,并分别两边右乘y和x,得
x' * A' * y = c1 * x' * y
y' * A' * x = c2 * y' * x = c2 * x' * y
对应相减
(c1 - c2) x' * y = x' * A' * y - y' * A' * x = 0
而 c1 - c2 ≠ 0,因此 x' * y = 0
证毕

结论要求A是对称阵，一般情况下不对