（2013•成都模拟）设函数f（x）=x2+bln（x+1）．

解题思路：（I）根据题意，求导函数，要使f（x）在（-1，+∞）上为单调函数，只须在（-1，+∞）上f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，分类讨论，分离参数，即可求b的取值范围；
II）b=-1时，f（x）=x²-ln（x+1），构造函数g（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³，证明g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜x³，即可证得结论．

（I）求导函数，可得f′(x)＝2x+
b
x+1＝
2x2+2x+b
x+1(x＞−1)
要使f（x）在（-1，+∞）上为单调函数，只须在（-1，+∞）上f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，
若2x²+2x+b≥0，∴b≥−2(x+
1
2)2+
1
2
在（-1，+∞）上t＝−2(x+
1
2)2+
1
2有最大值[1/2]，∴只须b≥
1
2，则f′（x）≥0
若2x²+2x+b≤0，∴b≤−2(x+
1
2)2+
1
2
在（-1，+∞）上t＝−2(x+
1
2)2+
1
2无最小值，故满足f′（x）≤0的b不存在．
由上得出当b≥
1
2时，f（x）在（-1，+∞）上为单调函数．
（II）b=-1时，f（x）=x²-ln（x+1）．
设g（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³，g′（x）=-
3x3+(x−1)2
x+1
当x≥0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上为减函数
∴当x∈（0，+∞）时，g（x）＜g（0）=0，∴f（x）＜x³．
令x=[1/k]∈（0，+∞），则f(
1
k)＜
1
k3
∴
n

k＝1f(
1
k)＜1+
1
23+
1
33+…+
1
n3

点评：
本题考点： 不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题以函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论思想，属于中档题．