我做了出来答案是1 但是参考答案是2 两边都是重要极限 第一个下面是2/X 不是应该乘上1/2吗 那两边加起来就是1了

第一个不是重要极限哦.x/sin(2/x)这里的x是趋于无穷小的,这不是第一个重要极限（sinx/x),第一个重要极限的x趋于0,注意此时的sinx也趋于0.也就是说第一个重要极限是两个无穷小的比较.sinx和x由于是等价无穷小,所以在x趋于0时的比值为1.
而楼主所提问题的第一个式子：x/sin(2/x),这里的x是趋于0.但1/x是趋于无穷大,所以你想想：sin(2/x),当（2/x)趋于无穷大时的极限是多少?这个极限是不存在的,因为sin(2/x)始终在-1和1之间波动,没有一个固定的趋向.所以这里的x/sin(2/x),当x趋于0时,不是第一个重要极限.这是一个很容易犯得错误.其实对于x/sin(2/x),当x趋于0时的极限很好解决.因为有这么一条定理：无穷小和和有界变量的乘积任然是无穷小.所以x/sin(2/x),当x趋于0时的极限=0.
第二个式子那就是第一个重要极限的变形了.

第一步将原式变为xsin2/x的极限加上2/xsinx的极限，第二步分别将xsin2/x变为2sin2/x比2/x，因为x趋于无穷大，所以2/x趋于0，由重要极限x趋于0，sinx比x的极限值为1，xsin2/x的极限为2，因为无穷小量的性质，2/xsinx的极限为0，综上，该式答案为2.