已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2-x，a∈R．

（Ⅰ）当a＝
1
4时，f（x）=ln(x+1)+
1
4x2−x，
则f′(x)＝
1
x+1+
1
2x−1，化简得f′(x)＝
x(x−1)
2(x+1)，（x＞-1）
∴函数在（-1，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0，f（1）=ln2−
3
4，
∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为ln2-[3/4]，在x=0处取到极大值为0．
（Ⅱ）由题意f′（x）=
x(2ax−(1−2a))
x+1，
（1）当a≤0时，函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时，不存在实数b∈（1，2）使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）；
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，有x=0或x=[1/2a−1，
①当a=
1
2]时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，显然符合题意；
②当[1/2a−1＞0即0＜a＜
1
2]时，函数f（x）在（-1，0）和（[1/2a−1，+∞）上单调递增，在（0，
1
2a−1）上单调递减，
此时由题，只需f（1）＞0，解得a＞1-ln2，又1-ln2＜
1
2]，
∴此时实数a的取值范围是1−ln2＜a＜
1
2
③当[1/2a−1＜0即a＞
1
2]时，函数f（x）在（-1，[1/2a−1）和（0，+∞）上单调递增，在（
1
2a−1，0）上单调递减，
要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），
则f（
1
2a−1）＜f（1），代入化简得ln2a+
1
4a+ln2−1＞0 （*）
令g(a)＝ln2a+
1
4a+ln2−1(a＞
1
2)，因g′(a)＝
1
a(1−
1
4a)＞0恒成立，
故恒有g(a)＞g(
1
2)＝ln2−
1
2＞0，∴a＞
1
2]时，（*）式恒成立．
综上，实数a的取值范围是（1-ln2，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要运用了分类讨论的方法，由条件逐层分析，逐步确定分类条件，一步一步讨论，直至将问题解决，在用分类讨论的方法解决问题时，要记住做到“不重不漏”．