如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为边AB的中点，DE⊥AB交边AC于点E，

（1）∵点D为边AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴AE=EB；
故答案为：=；

（2）设AE=BE=x，则CE=AC-AE=8-x，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
所以AE=5；

（3）①如图2，连接CD，∵点D为边AB的中点，
∴点D到AC、BC的距离分别为[1/2]BC=[1/2]×4=2，
[1/2]AC=[1/2]×8=4，
∴S_{四边形CPDQ}=S_△CDP+S_△CDQ，
=[1/2]×（4-t）×4+[1/2]×2t×2，
=8-2t+2t，
=8，
所以，四边形CPDQ的面积不发生变化；

②如图3，由勾股定理得，AB=
AC2+BC2=
82+42=4
5，
∵点D为边AB的中点，
∴AD=[1/2]AB=[1/2]×4
5=2
5，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴[DE/BC]=[AE/AB]=[AD/AC]，
即[DE/4]=
AE
4
5=
2
5
8，
解得DE=
5，AE=5，
∴CE=AC-AE=8-5=3，
若DE=EQ，则CQ=CE-EQ=3-
5，
或CQ=CE+EQ=3+
5，
此时，t=
3−
5
2或t=
3+
5
2，
若DE=DQ，过点D作DF⊥AC于F，
∵点D为边AB的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴CF=[1/2]AC=[1/2]×8=4，
∴EF=CF-CE=4-3=1，
∴CQ=4+1=5，
此时，t=[5/2]，
综上所述，t=
3−
5
2或
3+
5
2或[5/2]时，△DEQ为等腰三角形．

点评：
本题考点： 勾股定理；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；三角形中位线定理．

考点点评： 本题考查了勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，综合题型题目，难点在于（3）要分情况讨论．