（2014•宜春模拟）设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx．

解题思路：（Ⅰ）利用求导公式求出导数并化简，由导数的几何意义和题意可得f′（−

1

4

）=-4，解出a的值即可；
（Ⅱ）对导数因式分解后，再求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a≥0，a＜0两种情况，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间；
（Ⅲ）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，利用分析法和根据（II）结论进行证明，根据要证明的结论和分析的过程，利用放缩法、换元法、构造函数法解答，再利用导数求出函数的最值，即可证明结论．

（I）由题知f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx，
则f′(x)＝
4ax2+(a+4)x+1
x．
又∵f（x）的图象在x=[1/4]处的切线与直线4x+y=0平行，
∴f′(
1
4)＝−4，即4a×[1/16]+[1/4]×（a+4）+1=-1，
解得a=-6．…（4分）
（Ⅱ）由（I）得，f′(x)＝
4ax2+(a+4)x+1
x＝
(4x+1)(ax+1)
x，
由题知f（x）=2ax²+（a+4）x+lnx的定义域为（0，+∞），
由x＞0，得[4x+1/x]＞0．
①当a≥0时，对任意x＞0，f′（x）＞0，
∴此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，令f′（x）=0，解得x＝−
1
a，
当0＜x＜−
1
a时，f′（x）＞0，当x＞−
1
a时，f′（x）＜0，
此时，函数f（x）的单调递增区间为（0，−
1
a），单调递减区间为（−
1
a，+∞）．
（Ⅲ）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，由（Ⅱ）知 a＜0，
于是要证f'（x）＜0成立，只需证：x0＞−
1
a即
x1+x2
2＞−
1
a．
∵f(x1)＝2ax12+(a+4)x1+lnx1＝0，①
f(x2)＝2ax22+(a+4)x2+lnx2＝0，②
①-②得f(x1)−f(x2)＝2ax12+(a+4)x1+lnx1−2ax22−(a+4)x2−lnx2＝0，
即a(2x12−2x2

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，导数的几何意义及不等式的证明问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，综合性较强，计算量大，难度较大，对能力要求较高．