（2014•红桥区二模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（a为实数）．

解题思路：（Ⅰ）把a=5代入函数g（x）的解析式，求出导数，得到g（1）和g′（1），由直线方程的点斜式得切线方程；
（Ⅱ）利用导数求出函数f（x）在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到
f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e^xf（x），分离变量a，然后构造函数h(x)＝x+2lnx+

3

x

，由导数求出其在[[1/e]，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．

（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（-x²+5x-3）-e^x，g（1）=e．
g′（x）=（-x²+3x+2）-e^x，故切线的斜率为g′（1）=4e
∴切线方程为：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e；
（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，

x (0，
1
e) [1/e] (
1
e，+∞)
f'（x） - 0 +
f（x） 单调递减 极小值（最小值） 单调递增①当t≥
1
e时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt；
②当0＜t＜
1
e时，在区间(t，
1
e)上f（x）为减函数，在区间(
1
e，e)上f（x）为增函数，
∴f(x)min＝f(
1
e)＝−
1
e；
（Ⅲ） 由g（x）=2e^xf（x），可得：2xlnx=-x²+ax-3，
a＝x+2lnx+
3
x，
令h(x)＝x+2lnx+
3
x，h′(x)＝1+
2
x−
3
x2＝
(x+3)(x−1)
x2．

x (
1
e，1) 1 （1，e）
h′（x） - 0 +
h（x） 单调递减 极小值（最小值） 单调递增h(
1
e)＝
1
e+3e−2，h（1）=4，h（e）=[3/e+e+2．
h(e)−h(
1
e)＝4−2e+
2
e＜0．
∴使方程g（x）=2e^xf（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为4＜a≤e+2+
3
e]．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了导数在求函数最值中的应用，关键在于由导函数的符号确定原函数的单调性，考查利用构造函数法求解含字母系数的范围问题，解答的技巧是分类字母系数，是高考试卷中的压轴题．