（本小题满分１２分）如图， 内接于 ， 的平分线 与 交于点 ，与 交于点 ，延长 ，与 的延长线交于点 ，连接 是 的

（1）猜想： ．
证明：如图，连结 OC 、 OD ．
∵ ， G 是 CD 的中点，
∴由等腰三角形的性质，有 ．
（2）证明：∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°．
而∠ CAE ＝∠ CBF （同弧所对的圆周角相等）．
在Rt△ ACE 和Rt△ BCF 中，
∵∠ ACE =∠ BCF ＝90°， AC = BC ，∠ CAE =∠ CBF ，
∴Rt△ ACE ≌Rt△ BCF （ASA）
∴ ．
（3）如图，过点 O 作 BD 的垂线，垂足为 H ．则 H 为 BD 的中点．
∴ OH ＝ AD ，即 AD =2 OH ．
又∠ CAD ＝∠ BAD CD = BD ，∴ OH = OG ．
在Rt△ BDE 和Rt△ ADB 中，
∵∠ DBE ＝∠ DAC ＝∠ BAD ，
∴Rt△ BDE ∽Rt△ ADB
∴ ，即
∴
又 ，∴ ．
∴ … ①
设 ，则 ，AB= ．
∵ AD 是∠ BAC 的平分线，
∴ ．
在Rt△ ABD 和Rt△ AFD 中，
∵∠ ADB =∠ ADF ＝90°， AD = AD ，∠ FAD ＝∠ BAD ，
∴Rt△ ABD ≌Rt△ AFD （ASA）．
∴ AF = AB = ， BD = FD ．
∴ CF = AF - AC =
在Rt△ BCF 中，由勾股定理，得
…②
由①、②，得 ．
∴ ．解得 或 （舍去）．
∴
∴⊙ O 的半径长为 ．
∴