已知数列{an}满足Sn+an=2n+1．

解题思路：（1）取n=1，2，3，分别求出a₁，a₂，a₃，然后仔细观察，总结规律，猜测a_n的值．
（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a_k=2-

1

2k

，当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+1=2（k+1）+1，a_k+1=2-

1

2k+1

，当n=k+1时，命题成立．故a_n=2-

1

2n

都成立．

（1）当n=1，时S₁+a₁=2a₁=3
∴a₁=[3/2]
当n=2时，S₂+a₂=a₁+a₂+a₂=5
∴a₂=[7/4]，
同样令n=3，则可求出a₃=[15/8]
∴a₁=[3/2]，a₂=[7/4]，a₃=[15/8]
猜测a_n=2-
1
2n
（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；
②假设n=k时，命题成立，即a_k=2-
1
2k，
当n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k+2a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2a_k+1=2+2-
1
2k，即a_k+1=2-
1
2k+1，
即当n=k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N⁺，a_n=2-
1
2n都成立．

点评：
本题考点： 数列递推式；数学归纳法．

考点点评： 本题考查数列的递推式，解题时注意数学归纳法的证明过程．