正四面体的外接球和内切球的球心是同一个点

设正四面体为A-BCD.
作三角形BCD中,CD边的中线BE,BC边的中线DF.BE,DF相交于G,连接AG.
以下讨论AG的性质.
连接AE,AF. 由于BC垂直于AE, BC垂直于AF,
故BC垂直于平面ADF,(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面)
从而BC垂直于AG.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)
同理,CD垂直于AG,
即知AG垂直于平面BCD.即AG是过三角形BCD的外心且垂直这三角形所在平面的直线.
故其上任何一点到三点BCD等距离. (1)
再者,平面ABE是二面角平面C-AB-D的平分面.即:二面角C-AB-E = E-AB-D
由此知,平面ABE上任何点到平面ABC 和平面ABD的距离相等.
同理:平面ADF是二面角平面C-AD-B的平分面.
知:平面ADF上任何点到平面ABD 和平面ACD的距离相等.
而AG在是上述两平面的交线,
故AG上的任何点到,此到三平面ABC,ABD,ACD的距离相等(2)
同理,设三角形ADC的中心为H,连接BH, 则BH有相应的性质:
(1a)其上任意点 到三点ADC的距离相等;
(2a)其上任意一点到三平面:BCD,BCA,BAD 距离相等..
AG, BH都在同一平面ABE中,设它们相交于O,则O点到四点:A,B,C,D距离相等,
且O点到四面ABC,ABD, BCD,ACD距离相等.
即O点既是外接球的中心,又是内切球的中心.