在三角形ABC中,CD⊥AB于D,且AC²=AD×AB,求证△ABC为直角三角形

方法一,用勾股定理：
∵CD⊥AB,∴ACD、CBD都是直角三角形
∴AC^2 = AD^2 + CD^2,BC^2 = BD^2+CD^2
∴AC^2-BC^2 = AD^2-BD^2 = (AD+BD)(AD-BD) = AB*(AD-BD)
又：AC^2 = AD*AB
∴AD*AB - BC^2 = AB*(AD-BD)
∴BC^2 = AD*AB - AB*(AD-BD) = AB*(AD-AD+BD) = AB*BD
∴AC^2+BC^2=AB*AD+AB*BD=AB*(AD+BD)=AB*AB=AB^2
∴三角形ABC三边关系满足勾股定理
∴三角形ABC是直角三角形.
方法二,根据余弦cosA=邻边/对边：
∵CD⊥AB
∴ACD是直角三角形
∴cosA=AD/AC
又：AC^2=AD×AB
∴AD/AC = AC/AB
∴cosA=AC/AB
∴AC为邻边,AB为斜边
∴∠ACB=90°
方法三, 根据相似三角形：
∵AC^2=AD×AB
∴AD：AC = AC：AB
∴△ACD ∽ △ABC 【对应变成比例的三角形相似】
又：CD⊥AB,即∠ADC=90°
∴∠ACB=∠ADC=90°【相似三角形对应角相等】
∴△ABC为直角三角形

貌似相似三角形，两边比例一样，角一样

CD⊥AB于D,,AC^2=AD^2+CD^2,AC2=AD×AB,AB=AD+BD,,AC2=AD×(AD+BD),
AD^2+CD^2=AD×(AD+BD),CD^2=AD*BD,AD/CD=CD/BD,
在△ADC和△BDC中，∠ADC=∠BDC=90,AD/CD=CD/BD,△ADC和△BDC相似，∠ACD=∠B,
∠A=∠BCD,∠A+ACD=90，∠ACD+BCD=90，△ABC为直角三角形.

相似三角形，角A相等，ac/ad等于ab/ac,三角形abc与三角形acd相似，所以证明成立

将原式的AC的平方=AD×AB换成AC／AD=AB／AC，又因为角A为三角形ACD和三角形ABC的公共角。所以三角形ACD与三角形ABC相似，角CDA＝角BCA，所以三角形为直角三角形。

buhi

相似学了不
∵∠A=∠A AC:AD=AB: AC ∴△CAD∽△BAC ∴∠ACD=∠B ∵CD⊥AB ∴∠A+∠ACD=90° ∴∠A+∠B=90° ∴∠ACB=90° 即△ABC为直角三角形