过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为[π/4]的直线与抛物线相交于A、B两点．

解题思路：（1）根据所给的抛物线的方程写出抛物线的焦点坐标，又有所给的直线的倾斜角得到这条直线的斜率，由点斜式写出直线的方程，整理成最简形式．
（2）要求两点之间的距离，首先要把直线与抛物线方程联立，整理出关于x的方程，根据根和系数之间的关系，和抛物线的定义，写出结果．
（3）由题设知 cos∠AOB＝

|AO|2+|BO|2−|AB|2

2|AO||BO|

＝

xA2+yA2+xB2+yB2−(xA−xB)2−(yA−yB)2

2 (xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

xAxB+yAyB

(xA2+yA2)(xB2+yB2)

＝

2xAxB− p 2 (xA+xB)+ p2 4

xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

＝−

3 41

41

，由此可知∠AOB的大小是与p无关的定值，并能求出这个定值．

（1）焦点F(
p
2，0)，
过抛物线焦点且倾斜角为[π/4]的直线方程是y＝x−
p
2，
即x-y-[p/2]=0；

（2）由

y2＝2px
y＝x−
p
2⇒x2−3px+
p2
4＝0⇒xA+xB＝3p，xAxB＝
p2
4
⇒|AB|=x_A+x_B+p=4p．
（3）cos∠AOB＝
|AO|2+|BO|2−|AB|2
2|AO||BO|＝
xA2+yA2+xB2+yB2−(xA−xB)2−(yA−yB)2
2
(xA2+yA2)(xB2+yB

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．

考点点评： 本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，实际上这种问题在解题时考虑的解题方法类似，都需要通过方程联立来解决问题，注意本题中抛物线还有本身的特点，注意使用，属中档题．