（2013•石家庄二模）在四边形 ABC D中，BC∥AD，CD∥AD，AD=4，BC=CD=2，E

法一：（Ⅰ）存在点M，当M为线段AE的中点时，PM∥平面BCA．

事实上，取EB的中点N，连接PN，MN，则MN∥BA，PN∥CB，
所以平面PMN∥平面ABC，
因为PM在平面PMN内，
所以PM∥平面ABC．
（Ⅱ）如图，

连接PH，NH，可知PN⊥平面ABE，
所以PH与平面ABE所成角为∠PHN，
又tan∠PHN＝
PN
NH，PN=2，
所以当NH⊥AB时，PH与平面ABE所成角最大，
可得BH=

2
2，
过H作HR⊥EB交EB于R，
则HR⊥平面BCDE，且BR=HR=[1/2]，
过R做RG⊥CD垂足为G，连接HG，
则HG⊥CD，
所以∠GHR为二面角H-PC-E的平面角，
所以在直角△HRG中tan∠HGR＝
HR
RG＝
1
4，
所以cos∠HGR＝
4
17
17，所以二面角H-PC-E的余弦值为
4
17
17．
法二：（Ⅰ）存在点M，当M为线段AE的中点时，PM∥平面BCA，
建立如图所示空间直角坐标系，

则A（0，0，2），M（0，0，1），P（2，1，0），B（0，2，0），C（2，2，0），
AB中点F（0，1，1），
所以

PM＝(−2，−1，1)，

BC＝(2，0，0)，

AB＝(0，2，−2)，

EF＝(0，1，1)．
可知

EF•

BC＝0，

EF•

AB＝0，∴EF⊥平面ABC，
又

EF•

PM＝0，
∴PM∥平面ABC．
（Ⅱ） 可知P （ 2，1，0 ），A（0，0，2），E（0，0，0），B（0，2，0），
设H（x，y，z），则

BA＝(0，−2，2)，

BH＝(x，y−2，z)，
设

BH＝λ

BA，则得H（0，2-2λ，2λ），
所以

PH＝(−2，1−2λ，2λ)，因为点P到平面ABE的距离为定值2，
所以当PH最小时PH与平面ABE所成角最大，
此时

PH⊥

BA，即

PH•

BA＝0，得λ＝
1
4，所以H（0，[3/2]，[1/2]），
所以

BH＝(0，−
1
2，
1
2)，
设平面PCH的一个法向量为

n＝(x，y，z)，


PC＝(0，1，0)，

PH＝(−2，
1
2，
1
2)
则由



n•

PC＝0


n•

PH＝0，可得

y＝0
−2x+
1
2y+
1
2z＝0，则

n＝(
1
2，0，2)，
平面PBE的一个法向量为

EA＝(0，0，2)，
设二面角H-PC-E的大小为θ，
则cosθ＝


n•

EA
|

n|•|

EA|＝
4
17
17．

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题考查了线面平行的判定，解答时常借助于三角形的中位线证明，考查了二面角的平面角的求法，常用“寻找垂面，构造垂线”法寻找二面角的平面角，考查了利用空间向量证明线面平行及利用空间向量求解二面角的大小，关键是建立正确的空间右手系，是中档题．