（理科做）已知函数f（x）=lnx-a2x2+ax（a≥0）．

解题思路：（1）把a=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性求出最值，判断出最值的符号，然后分区间讨论可得到零点的个数．
（2）方法一：对参数a进行讨论，然后利用导数f′（x）≤0（注意函数的定义域）来解答，方法一是先解得单调减区间A，再与已知条件中的减区间（1，+∞）比较，即只需要（1，+∞）⊆A即可解答参数的取值范围；
方法二是要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，我们可以转化为f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．

（1）当a=1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞）
∴f′(x)＝
1
x−2x+1＝ −
2x2−x−1
x…（2分）
令f′（x）=0，即−
2x2−x−1
x=0，解得x＝−
1
2或x=1．∵x＞0，
∴x＝−
1
2舍去．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1²+1=0．
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
∴函数f（x）只有一个零点． …（7分）
（2）显然函数f（x）=lnx-a²x²+ax的定义域为是（0，+∞）
∴f′(x)＝
1
x−2a2x+a＝
−2a2x2+ax+1
x=
−(2a x +1)(ax−1)
x…（8分）
1当a=0时，f′(x)＝
1
x＞0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意 …（9分）
2 当a＞0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）≥0（x＞0），即x＞
1
a
此时f（x）的单调递减区间为[[1/a]，+∞）．
依题意，得


1
a≤1
a＞0，解之得a≥1．…（11分）
综上，实数a的取值范围是[1，+∞） …（14分）
法二：
①当a=0时，f′(x)＝
1
x＞0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意…（9分）
②当a≠0时，要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，只需f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立，
∵x＞0，∴只要2a²x²-ax-1≥0，且a＞0时恒成立，
∴

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题考查函数的零点的存在性定理，综合利用函数的导数来解决有关函数的单调性、最值等问题的能力，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题；本题始终围绕参数a来设计问题，展开问题的讨论，应用的工具就是函数的导数，这是现在高考的热点，同样也是难点，对参数的把握最能体现学生的能力与水平；本题还综合考查了分类讨论，函数与方程，配方法等数学思想与方法．