如图,ABCD为直角梯形,∠C=∠CDA=90°,AD=2BC=2CD,P为平面ABCD外一点,且PB⊥BD
如图,ABCD为直角梯形,∠C=∠CDA=90°,AD=2BC=2CD,P为平面ABCD外一点,且PB⊥BD
(1)求证：PA⊥BD；
(2)若PC与CD不垂直,求证：PA≠PD；
(3)若直线l过点P,且直线l‖直线BC,试在直线l上找一点E,使得直线PC‖平面EBD.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)若PC与CD不垂直,求证：PA≠PD；
(3)若直线l过点P,且直线l‖直线BC,试在直线l上找一点E,使得直线PC‖平面EBD.
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解
(1)
根据条件可以算出AB=BD=√2CD=√2AD/2
∴△ABD为等腰直角三角形
BD⊥AB
又BD⊥PB
∴BD⊥平面PAB
∵PA包含于平面PAB
∴BD⊥PA
(2)
反证法,反设PA=PD
则P在AD中垂面上
故PB⊥AD
又PB⊥BD
∴PB⊥平面ABCD
∴PB⊥CD
又CD⊥BC
∴CD⊥平面PBC
∴CD⊥PC
矛盾.得证
(3)
E在P点左侧且PE=CB的位置
证明如下：
∵PE=CB
又∵l‖直线BC
∴PEBC是平行四边形
PC‖BE
又BE包含于平面EBD
∴PC‖平面EBD
(1)
根据条件可以算出AB=BD=√2CD=√2AD/2
∴△ABD为等腰直角三角形
BD⊥AB
又BD⊥PB
∴BD⊥平面PAB
∵PA包含于平面PAB
∴BD⊥PA
(2)
反证法,反设PA=PD
则P在AD中垂面上
故PB⊥AD
又PB⊥BD
∴PB⊥平面ABCD
∴PB⊥CD
又CD⊥BC
∴CD⊥平面PBC
∴CD⊥PC
矛盾.得证
(3)
E在P点左侧且PE=CB的位置
证明如下：
∵PE=CB
又∵l‖直线BC
∴PEBC是平行四边形
PC‖BE
又BE包含于平面EBD
∴PC‖平面EBD
1年前
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