如下题,如何得知Xn都小于2,这个2是如何求得的,我怎么感觉Xn足够大时可以大于2,
如下题,如何得知Xn都小于2,这个2是如何求得的,我怎么感觉Xn足够大时可以大于2,
有:xn=√(2+x(n-1))
∵ 1 < x1=√2 < x2 =√(2+x1) < 2
由数学归纳法:
假设:x(n-1) < xn < 2
xn=√(2+x(n-1)) < xn+1=√(2+xn) ∴ xn为单调数列;
xn+1=√(2+xn) < √(2+2) < 2 ∴ xn为有界数列,上界取2,下界取 x1=√2;
∴由单调有界原理:lim(n->∞) xn 存在 ,根据极限保序性,设:
lim(n->∞) xn = a ≥ 1
a = lim(n->∞) x(n+1)= lim(n->∞) √(2+xn)= √(2+a)
a = √(2+a)
a=2 ,a=-1 (舍)
∴ lim(n->∞) xn = 2