如图，△ABC中，∠A=90°，AC=AB，将点C与原点重合，建立平面直角坐标系，AB边与y轴交于点D，且y轴平分∠AO

（1）∵∠A=90°，AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴BC=
2AC．
∵y轴平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOD=22.5°；
（2）证明：∵∠A=90°，∠AOD=22.5°，
∴OD=[AC/cos22.5°]=[AC/sin67.5°]．
∵∠BOD=22.5°，
∴x=BC•cos（90°-22.5°）=BC•cos67.5°，
∴[CD/x]=[AC/BC•sin67.5°•cos67.5]=
1


2sin135°
2=2，
即OD=2x．
（3）如图2，△ABC形状与大小保持不变，将其沿BC所在直线平移，使得点O落在线段BC上，那么（2）中的结论仍成立，理由如下：
∵平移不改变图形的形状，
∴∠BOD=22.5°，∠ABC=45°，根据正弦定理，得
[CD/sin45°]=[OB
sin(180°−22.5°−45°)=
OB/sin67.5°]，
CD=[OB•sin45°/sin67.5°]．
∵点B横坐标为x，∠BOD=22.5°，
∴x=OB•cos（90°-22.5°）=OB•cos67.5°，
∴[CD/x]=

OBsin45°
sin67.5°
OB•cos67.5°=[sin45°/sin67.5°•cos67.5°]=
1


2sin135°
2=2，
即OD=2x．

点评：
本题考点： 解直角三角形；坐标与图形性质；三角形内角和定理．

考点点评： 本题考查了解直角三角形，利用了角平分线的性质，锐角三角函数，正弦定理，正弦的2倍角关系，题目稍有难度．

1年前

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