Mcaide 幼苗
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(I)由2、3、5的最小公倍数为30,由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体为整数个,
所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数,考察四个选项,仅有B符合要求,
故选B
(II)设出线段AB的中点坐标为(x,y)
由题意各2x=xA+xB,2y=yA+yB
∴4x2=(xA+xB)2
4y2=(yA+yB )2
又x2+y2-24x-28y-36=0
∴(xA)2+(yA)2-24xA-28yA-36=0
(xB)2+(yB)2-24xB-28yB-36=0
以上两式相加得[(xA)2+(yA)2-24xA-28yA-36]+[(xB)2+(yB)2-24xB-28yB-36]=0
∴(xA)2+(xB)2+(yA)2+(yB)2-24×(xA+xB)-28×(yA+yB)-72=0
∴(xA+xB)2-2xA×xB+(yA+yB)2-2yA×yB-24×2x-28×2y-72=0
∴4x2+4y2-48x-56y-72=2(xA×xB+yA×yB)
又PA⊥PB
∴[(yA-2)/(xA-4)]×[(yB-2)/(xB-4)]=-1
∴(xA-4)×(xB-4)+(yA-2)×(yB-2)=0
∴xA×xB+yA×yB=4(xA+xB)+2(yA+yB)-20
∴xA×xB+yA×yB=4×2x+2×2y-20
∴16x+8y-40=2(xA×xB+yA×yB)
∴4x2+4y2-48x-56y-72=16x+8y-40
整理得x2+y2-16x-16y-8=0
即AB中点Q的轨迹方程是圆:(x-8)2+(y-8)2=136(位于圆内).
点评:
本题考点: 轨迹方程;棱柱的结构特征.
考点点评: 本题考查轨迹方程的求法,解题的关键是将题设中位置关系转化成方程,整理出轨迹方程来,本题在解题过程中用到了恒等变形,代换等技巧,综合性较强.本题是近几年高考中的常见题型,就注意总结它的求解规律,此类题的解题规律大体都是如此,本题全是符号运算,运算量较大,解题时要注意变形的严谨性防止变形出错,导致解题失败.
1年前
一个长方体水槽,侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔,
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