如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，点P是斜边AB上一个动点，点D是CP的中点，延长B

解题思路：（1）作CH⊥AB，垂足为H，即可证明四边形PBCE是平行四边形．根据四边形PCEA的面积=[1/2]（CE+AP）•CH=[1/2]AB•CH即可求解．
（2）根据点D是CP的中点，DE=BD，即可证明△ECD≌△BPD，即可证明EC∥AP，因而当AP=EC时，得▱PCEA，即可求解；
（3）当P、H重合是四边形是直角梯形，据此即可求解．

作CH⊥AB，垂足为H，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，
∴BC=2，
则CH=
3．
连接EP，因为CD=DP，BD=DE，得▱PBCE．则CE=PB，EP=CB=2．
（1）SAPCE＝(CE+AP)CH÷2＝AB•CH÷2＝2
3，
四边形PCEA的面积=[1/2]（CE+AP）•CH=[1/2]AB•CH=2
3；
（2）当AP=2时，BP=EC=AP，则AP=EC，且AP∥EC，
得▱PCEA，∵AP=2=PC=EC，且EC∥AP；
（3）当AP=3时，P、H重合，EC∥AP，∠CPA=90°，
AP=3≠1=PB=EC，得直角梯形PCEA；
当AP=1时，△APE是直角三角形，∠EAP=90°，
EC∥AP，AP=1≠3=PB=EC，得直角梯形PCEA．

点评：
本题考点： 直角梯形；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查了平行四边形的判定，以及直角梯形的判定，正确理解四边形是直角梯形与平行四边形的条件是解题的关键．

解，连接PE，线段PE和AC的交点为F。
∵点D是CP的中点，（已知）
∴DP=DC，
∵DE=BD（已知）
∴四边形BCEP为平行四边形。（四边形对角线的交点平分对角线，四边形为平行四边形。）
PE∥BC，PE=BC
∵∠ACB=90°，
∴∠AFP=90°，PE⊥AC。
在Rt△ABC中，，∠BAC=30°，AB=4
...

由PD=CD,BD=DE,∠BDP=∠CDE,
△BDP和△EDC全等，
则BP=CF，∠DBP=∠DEC，
∴BP平行于CE，
则梯形PCEA的高为BCcos30°=√3，
①S=(CE+PA）×1/2
=(BP+PA）×√3/2
=4√3/2=2√3
②四边形PCEA是平行四边形时CE=AP，

作CH⊥AB，垂足为H，则CH= 3 ．
连接EP，因为CD=DP，BD=DE，得▱PBCE．则CE=PB，EP=CB=2．
（1）S APCE =(CE+AP)CH÷2=AB•CH÷2=2 3 ，
四边形PCEA的面积=1 2 （CE+AP）•CH=1 2 AB•CH=2 3 ；
（2）当AP=2时，得▱...