定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）．当x∈（0，1）时有：f(x)＝2x4x+1．

解题思路：（1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1）结合f（-x）=-f（x），及x∈（0，1）时，f(x)＝

2x

4x+1

，可求x∈（-1，0）时得f（x），在f（-x）=-f（x）中可求f（0）=0
（2）利用函数的单调性的定义证明即可

（1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1）
∵∀x∈R，f（-x）=-f（x），且x∈（0，1）时，f(x)＝
2x
4x+1，
∴x∈（-1，0）时，有f(x)＝−f(−x)＝−
2−x
4−x+1＝−
2x
4x+1..（3分）
在f（-x）=-f（x）中，令x=0，f（-0）=-f（0）⇒f（0）=0．（5分）
综上：当x∈（-1，1）时，有：f(x)＝


2x
4x+1，x∈(0，1)
−
2x
4x+1，x∈(−1，0)
0，x∈{0}（7分）
（2）f（x）在（0，1）上是减函数（8分）
证明：设0＜x₁＜x₂＜1则x₂-x₁＞0，0＜x₁+x₂＜2，∴2x1+x2＞1，2x2＞2x1．（10分）
∴f(x2)−f(x1)＝
2x2
4x2+1−
2x1
4x1+1＝
(2x1−2x2)(2x1+x2−1)
(4x1+1)(4x2+1)＜0（13分）
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，1）上是减函数（14分）

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查了利用函数的性质求解函数的解析式，解题中不要漏掉x=0时的函数得解析式，利用函数的单调性的定义证明函数得单调性．