（2014•黄石）AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=

（1）证明：
如图1，在△AMD中，
∵AD是△ABC的中线，△ABC为等边三角形，
∴AD⊥BC，∠MAD=30°，
又∵α=∠BDM=30°，
∴∠MDA=60°
∴∠AMD=90°，
在△AMN中，∠AMN=90°，∠MAN=60°，
∴∠AMN=∠DMA=90°，∠MAN=∠MDA，
∴△AMN∽△DMA；

（2）证明：如图甲，过点C作CF∥AB交MN于点F，则△CFN∽△AMN

∴[NC/NA＝
CF
AM]．
易证△CFD≌△BMD，
∴BM=CF，
∴[AN−AC/AN＝
BM
AM＝
AB−AM
AM]，
∴[yAC−AC/yAC＝
AB−xAB
xAB]，即[1/x+
1
y＝2；

（3）猜想：
1
x′]+[1/y′]=[2/n] 成立．理由如下：
①如图乙，过D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延长线于N，
则[AM′/AM＝
AG
AD＝
AN′
AN]
∴[x′/x＝n＝
y′
y]，
即x＝
x′
n，y＝
y′
n
由（2）知[1/x+
1
y＝2
∴
1
x′+
1
y′＝
2
n]
②如图丙，当过点D作M₁N₁∥M'N'交AB的延长线于M₁，交AC1于N₁，则同理可得[1/x′+
1
y′＝
2
n]．

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查了相似三角形的综合题型．此题涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，平行线截线段成比例等．此题的难点在于辅助线的作法，解题时，需要认真的思考才能理清解题思路．

1年前

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