zhurui_0630
幼苗
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设∠APB=2u,则:∠APM=∠BPM=u.
显然有:cotu=PA/AM=PA=PB,PA^2=PM^2-1.
∴向量PA·向量PB
=|向量PA||向量PB|cos2u
=PA^2[(cosu)^2-(sinu)^2]/[(cosu)^2+(sinu)^2]
=PA^2[(cotu)^2-1]/[(cotu)^2+1]
=PA^2(PA^2-1)/(PA^2+1)
=(PM^2-1)(PM^2-2)/PM^2
=(PM^4-3PM^2+2)/PM^2
=PM^2+2/PM^2-3.
令f(x)=向量PA·向量PB、PM^2=x,则:f(x)=x+2/x-3.
很明显,M到直线l的距离=|2×2-0×1|/√(4+1)=4/√5,∴PM≧4/√5,∴√x≧4/√5,
∴x≧16/5>2,∴x^2>4.
对f(x)求导数,得:f′(x)=1-2/x^2=(x^2-2)/x^2>0.
∴f(x)在区间[16/5,+∞)上是增函数.
∴f(x)的最小值=f(16/5)=16/5+2/(16/5)-3=3+1/5+5/8-3=13/40.
∴向量PA·向量PB的最小值是13/40.
1年前
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