已知函数f(x)＝logax+1x−1，（a＞0，且a≠1）

解题思路：（Ⅰ） 先求出定义域，利用对数的性质证明f（-x）=-f（x），故函数在定义域内是奇函数．
（Ⅱ） ①当a＞1时，有

x+1

x−1

＞

m

(x−1)2(7−x)

＞0对x∈[2，4]恒成立，即0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）
在x∈[2，4]恒成立，利用导数求得（x+1）（x-1）（7-x）的最小值为15，得到 0＜m＜15．
②当0＜a＜1时，m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，利用导数求得 （x+1）（x-1）（7-x） 的最大值
为45，故m＞45．
（Ⅲ） n=2 时，a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＞2ⁿ-2． n=3 时，a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}=2ⁿ-2．当n≥4时，
a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＜2ⁿ-2． n≥4时，由 2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1＞n+

n(n−1)

2

+n＝

n2+3n

2

＞

n(n+1)

2

得到证明．

（Ⅰ）由[x+1/x−1＞0，解得x＜-1或x＞1，∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f(−x)＝loga
−x+1
−x−1＝loga
x−1
x+1＝loga(
x+1
x−1)−1＝−loga
x+1
x−1＝−f(x)
∴f(x)＝loga
x+1
x−1]在定义域上是奇函数．
（Ⅱ）由x∈[2，4]时，f(x)＝loga
x+1
x−1＞loga
m
(x−1)2(7−x)恒成立，
①当a＞1时，∴
x+1
x−1＞
m
(x−1)2(7−x)＞0对x∈[2，4]恒成立，
∴0＜m＜（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立，设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，
则g（x）=-x³+7x²+x-7，g′(x)＝−3x2+14x+1＝−3(x−
7
3)2+
52
3，
∴当x∈[2，4]时，g'（x）＞0，∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）_min=g（2）=15，∴0＜m＜15．
②当0＜a＜1时，由x∈[2，4]时，f(x)＝loga
x+1
x−1＞loga
m
(x−1)2(7−x)恒成立，
∴
x+1
x−1＜
m
(x−1)2(7−x)对x∈[2，4]恒成立，∴m＞（x+1）（x-1）（7-x）在x∈[2，4]恒成立．
设g（x）=（x+1）（x-1）（7-x），x∈[2，4]，由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，
g（x）_max=g（4）=45，∴m＞45．
（Ⅲ）∵f(2)+f(3)+…+f(n)＝loga3+loga
4
2+loga
5
3+…+loga
n
n−2+loga
n+1
n−1=loga(3×
4
2×
5
3×…×
n
n−2×
n+1
n−1)＝loga
n(n+1)
2，∴af(2)+f(3)+…+f(n)＝
n(n+1)
2
当n=2时，
n(n+1)
2＝3，2ⁿ-2=2，∴a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}＞2ⁿ-2，
当n=3时，
n(n+1)
2＝6，2ⁿ-2=6，∴a^{f（2）+f（3）+…+f（n）}=2ⁿ-2，
当n≥4时，af(2)+f(3)+…+f(n)＝
n(n+1)
2＜2ⁿ-2，下面证明：当n≥4时，af(2)+f(3)+…+f(n)＝
n(n+1)
2＜2ⁿ-2．
证明：当n≥4时，2ⁿ-2=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ-2=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1＞n+
n(n−1)
2+n＝
n2+3n
2＞
n(n+1)
2，
∴当n≥4时，af(2)+f(3)+…+f(n)＝
n(n+1)
2＜2ⁿ-2．

点评：
本题考点： 数学归纳法；函数恒成立问题；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，函数的恒成立问题，用放缩法证明不等式，用放缩法证明不等式是解题的
难点．