设函数f（x）=ax2+bx+c （a≠0）中，a，b，c均为整数，且f（0），f（1）均为奇数．求证：f（x

解题思路：先通过条件得到a，b同奇偶，然后分别讨论若a，b同为偶数与同为奇数两种情形，然后根据数值的奇偶进行判定方程有无整数根．

证明：f（0）=c为奇数
f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数
所以a，b同奇偶
假设整数根t，所以f（t）=0 即at²+bt+c=0
若a，b同为偶数，则at²+bt为偶数，所以at²+bt+c为奇数可得at²+bt+c≠0
与at²+bt+c=0矛盾
若a，b同为奇数，
若t为偶数则at²+bt为偶数
若t为奇数则at²+bt为偶数
所以 at²+bt+c为奇数 可得at²+bt+c≠0与at²+bt+c=0矛盾
综上所述方程f（x）=0无整数根

点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．

f(0)=c为奇数
f(1)=a+b+c为奇数，所以a+b为偶数，a和b同为奇数或偶数
反证：若f(x)=0有整数根
若根为奇数，则x^2为奇数，
1、当a和b同为奇数时，ax^2为奇数，bx为奇数，c为奇数，ax^2+bx+c为奇数，不为0，矛盾
2、当a和b同为偶数时，ax^2为偶数，bx为偶数，c为奇数，ax^2+bx+c为奇数，不为0，矛盾
...

由于：f(0)=c 为奇数,
所以： c：奇数
又由于：f(1)=a+b+c 也为奇数，
根据：奇数+偶数=奇数；奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数
所以：a+b为偶数
也就是说：a与b的奇偶性相同。
1、设：a为偶数，那么b也是偶数
即：a=2M1,b=2M2
代入方程得：...