已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的离心率为22，F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，且F2到椭

解题思路：（1）根据离心率求得a和c的关系，进而根据F2到椭圆C的右准线l的距离为1和a2=b2+c2求得a和b，椭圆的方程可得．（2）可设动点P的坐标为（2，m），求得焦点坐标，进而可得直线PF2的方程与椭圆方程联立消去y，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据伟大定理可表示出x1+x2和x1x2，进而表示出|AB|和点F1到直线PF2的距离，进而可得△F1AB的面积S的表达式，根据m确定S的取值范围．（3）根据AF2＝λF2B，AP＝μPB，可求得λ和μ的表达式，进而把x1+x2和x1x2代入λ+μ中求得λ+μ=0，原式得证．

（Ⅰ）由题意得


c
a＝

2
2
a2＝b2+c2

a2
c−c＝1，
解得a＝
2，b=1，c=1，
所以椭圆C的方程为
x2
2+y2＝1．
（Ⅱ）因为右准线l的方程为x＝
a2
c＝2，
所以可设动点P的坐标为（2，m），由（Ⅰ）知焦点F₁，F₂的坐标分别（-1，0），（1，0），
所以直线PF₂的方程为y=m（x-1）．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

y＝m(x−1)

x2
2+y2＝1得（1+2m²）x²-4m²x+2m²-2=0，
于是x1+x2＝
4m2
1+2m2，x1x2＝
2m2−2
1+2m2．
所以|AB|＝
(x1−x2)2+(y1−y2)2＝
2
2(1+m2)
1+2m2．
点F₁到直线PF₂的距离d＝
2|m|

1+m2，
所以△F₁AB的面积S＝
1
2|AB|d＝
2
2|m|
1+m2
1+2m2，S2＝
8m2(1+m2)
(1+2m2)2＝
2(1+2m2)2−2
(1+2m2)2＝2−
2
(1+2m2)2，
由题知m∈R且m≠0，于是0＜S＜
2，
故△F₁AB的面积S的取值范围是(0，
2)．

（Ⅲ）由（Ⅱ）及

AF2＝λ

F2B，

AP＝μ

PB，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（2-x₁，m-y₁）=μ（x₂-2，y₂-m），
于是λ＝
1−x1
x2−1，μ＝
2−x1
x2−2，
所以λ+μ＝
1−x1
x2−1+
2−x1
x2−2＝
3(x1+x2)−2x1x2−4
(x2−1)(x2−2)．
因为3(x1+x2)−2x1x2−4＝
12m2
1+2m2−
4m2−4
1+2m2−4＝0，
所以λ+μ=0，即λ+μ为定值0．

点评：
本题考点： 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程．当涉及直线与圆锥曲线的关系时，常需要把直线方程和圆锥曲线方程联立，根据伟大定理找到解决问题的途径．