在直角坐标系xoy上取两个定点A1（-2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m）、N2（0，n）且mn=3．

解题思路：（I）由直线方程的点斜式列出A₁N₁和A₂N₂的方程，联解并结合mn=3化简整理得

x2

4

+

y2

3

＝1，再由N₁、N₂不与原点重合，可得直线A₁N₁与A₂N₂交点的轨迹M的方程；
（II）由直线l方程与（Ⅰ）中求出的方程消去y，得到关于x的一元二次方程．利用根与系数的关系和直线的斜率公式，结合α+β=π化简整理，解出m=-4k，所以直线l：y=kx+m即y=k（x-4），可得直线l过定点（4，0）．

（I）依题意知直线A₁N₁的方程为：y=[m/2]（x+2）…①；
直线A₂N₂的方程为：y=-[n/2]（x-2）…②
设Q（x，y）是直线A₁N₁与A₂N₂交点，①、②相乘，得y²=-[mn/4]（x²-4）
由mn=3整理得：
x2
4+
y2
3＝1
∵N₁、N₂不与原点重合，可得点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在轨迹M上，
∴轨迹M的方程为
x2
4+
y2
3＝1（x≠±2）．
（II）由题意，可得直线l的斜率存在且不为零
由

y＝kx+m

x2
4+
y2
3＝1消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得x₁+x₂=
−8km
3+4k2且x₁x₂=
4m2−12
3+4k2，
∵α+β=π，kPF2=
kx1+m
x1−1，kQF2=
kx2+m
x2−1，
∴kPF2+

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；轨迹方程．

考点点评： 本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．