已知函数 f 1 (x)= e |x-2a+1| ， f 2 (x)= e |x-a|+1 ，x∈R ．

（1）因为a=2，且x∈[2，3]，所以f（x）=e ^|x-3| +e ^|x-2|+1 =e ^3-x +e ^x-1 =
e 3
e x +
e x
e ≥2

e 3
e x ×
e x
e =2e，
当且仅当x=2时取等号，所以f（x）在x∈[2，3]上的最小值为2e …4分
（2）由题意知，当x∈[a，+∞） 时，e ^|x-2a+1| ≤e ^|x-a|+1 ，即|x-2a+1|≤|x-a|+1 恒成立…6分
所以|x-2a+1|≤x-a+1，即2ax≥3a ² -2a 对x∈[a，+∞） 恒成立，
则由

2a≥0
2 a 2 ≥3 a 2 -2a ，得所求a的取值范围是0≤a≤2…9分
（3）记h ₁ （x）=|x-（2a-1）|，h ₂ （x）=|x-a|+1，则h ₁ （x），h ₂ （x）的图象分别是以（2a-1，0）和（a，1）为顶点开口向上的V型线，且射线的斜率均为±1．
①当1≤2a-1≤6，即1≤a≤
7
2 时，∴g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f ₁ （2a-1）=e ⁰ =1…10分
②当a＜1时，可知2a-1＜a，所以
（ⅰ）当h ₁ （a）≤h ₂ （a），得|a-（2a-1）|≤1，即-2≤a≤0时，在x∈[1，6]上，h ₁ （x）＜h ₂ （x），即f ₁ （x）＞f ₂ （x），所以g（x）=f ₂ （x）的最小值为f ₂ （1）=e ^2-a ；
（ii）当h ₁ （a）＞h ₂ （a），得|a-（2a-1）|＞1，即a＜-2或0＜a＜1时，在x∈[1，6]上，h ₁ （x）＞h ₂ （x），即f ₁ （x）＜f ₂ （x），所以g（x）=f ₁ （x）的最小值为f ₁ （1）=e ^3-2a ；
③当a＞
7
2 时，因为2a-1＞a，可知2a-1＞6，且h ₁ （6）=2a-7＞a-5=h ₂ （6），所以
（ⅰ）当
7
2 ＜a≤6 时，g（x）的最小值为f ₂ （a）=e
（ii）当a＞6时，因为h ₁ （a）=a-1＞1=h ₂ （a），∴在x∈[1，6]上，h ₁ （x）＞h ₂ （x），即f ₁ （x）＜f ₂ （x），所以g（x）在x∈[1，6]上的最小值为f ₂ （6）=e ^a-5 …15分
综上所述，函数g（x）在x∈[1，6]上的最小值为

1，1≤a≤
7
2
e 2-a ，-2≤a≤0
e 3-3a ，a＜-2或0＜a＜1
e，
7
2 ＜a≤6
e a-5 ，a＞6 …16分