f(x) |
x |
1 |
x |
liuli22 幼苗
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由于函数g(x)=f(x)+
1
x,可得x≠0,因而 g(x)的零点跟 xg(x)的非零零点是完全一样的,
故我们考虑 xg(x)=xf(x)+1 的零点.
由于当x≠0时,f′(x)+
f(x)
x>0,
①当x>0时,(x•g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+
f(x)
x )>0,
所以,在(0,+∞)上,函数x•g(x)单调递增函数.
又∵
lim
x→0[xf(x)+1]=1,∴在(0,+∞)上,函数 x•g(x)=xf(x)+1>1恒成立,
因此,在(0,+∞)上,函数 x•g(x)=xf(x)+1 没有零点.
②当x<0时,由于(x•g(x))′=(xf(x))′=xf′(x)+f(x)=x( f′(x)+
f(x)
x )<0,
故函数 x•g(x)在(-∞,0)上是递减函数,函数 x•g(x)=xf(x)+1>1恒成立,
故函数 x•g(x)在(-∞,0)上无零点.
综上可得,函g(x)=f(x)+
1
x在R上的零点个数为0,
故选C.
点评:
本题考点: 根的存在性及根的个数判断.
考点点评: 本题考查了根的存在性及根的个数判断,导数与函数的单调性的关系,体现了分类讨论、转化的思想,
属于中档题.
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已知函数f(x)是偶函数,f(x)可导,求证f'(x)为奇函数
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已知函数f(x)是偶函数 f(x)可导 求证f'(x)为奇函数
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已知函数f(x)可导,若函数y=e^f(x^2) 则导数y`
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你能帮帮他们吗