对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 <x>
| 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 即：当n为非负整数时，如果  ，则如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，… 试解决下列问题： （1）填空：①<π>=____（π为圆周率）； ②如果<2x-1>=3，则实数x的取值范围为____； （2）①当  ；m为非负整数时，求证：②举例说明  不恒成立；（3）求满足  的所有非负实数x的值；（4）设n为常数，且为正整数，函数y=x 2 -x+  的自变量x在n≤x≤n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足 的所有整数k的个数记为b，求证：a=b=2n。 |
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（1）①3；②
；
（2）①证明：
设 =n，
则n-
≤x＜n+
，n为非负整数；
又（n+m）-
≤x+m＜（n+m）+ ，且m+n为非负整数，
∴ =n+m=m+；
②举反例：<0.6>+<0.7>=1+1=2，
而<0.6+0.7>=<1.3>=1，
∴<0.6>+<0.7>≠<0.6+0.7>，
∴ + = 不一定成立；
（3）作y=，y=
的图象，如图
y= 的图象与y=
图象交于点（0，0）、
、
，
∴x=0，
；
（4）∵函数y=x 2 -x+
=（x-
） 2 ，n为整数，
当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴（n-
） 2 ≤y＜（n+1-
） 2 ，
即（n-
） 2 ≤y＜（n+
） 2 ，①
∴n 2 -n+
≤y＜n 2 +n+ ，
∵y为整数，
∴y=n 2 -n+1，n 2 -n+2，n 2 -n+3，…，n 2 -n+2n，共2n个y，
∴a=2n②，
则
，③
比较①，②，③得：a=b=2n。
；（2）①证明：
设
则n-
≤x＜n+
，n为非负整数；又（n+m）-
≤x+m＜（n+m）+ ，且m+n为非负整数，∴
②举反例：<0.6>+<0.7>=1+1=2，
而<0.6+0.7>=<1.3>=1，
∴<0.6>+<0.7>≠<0.6+0.7>，
∴
（3）作y=
的图象，如图
y=
图象交于点（0，0）、
、
，∴x=0，
；（4）∵函数y=x 2 -x+
=（x-
） 2 ，n为整数，当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴（n-
） 2 ≤y＜（n+1-
） 2 ，即（n-
） 2 ≤y＜（n+
） 2 ，①∴n 2 -n+
≤y＜n 2 +n+ ，∵y为整数，
∴y=n 2 -n+1，n 2 -n+2，n 2 -n+3，…，n 2 -n+2n，共2n个y，
∴a=2n②，
则
，③比较①，②，③得：a=b=2n。
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