设函数f(u)在(0,∞)内具有二阶导数,且z=f(√x^2 y^2)满足等式
设函数f(u)在(0,∞)内具有二阶导数,且z=f(√x^2 y^2)满足等式
z对x的二阶偏导数加z对y的二阶偏导数等于0
(1)验证f''(u) f'(u)/u=0
(2)若f(1)=0,f'(0)=1,求函数f(u)的表达式
z对x的二阶偏导数加z对y的二阶偏导数等于0
(1)验证f''(u) f'(u)/u=0
(2)若f(1)=0,f'(0)=1,求函数f(u)的表达式
赞 好派 春芽
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z=f(√(x^2+y^2))
设u=√(x^2+y^2). u'x=x/u u'y=y/u
1.z'x= f'(u)x/u, z''xx=[uf'(u)-x^2f'(u)/u+x^2f''(u)]/u^2
z'x= f'(u)y/u, z''yy=[uf'(u)-y^2f'(u)/u+y^2f''(u)]/u^2
由于z''xx+z''yy=0
0=[uf'(u)-x^2f'(u)/u+x^2f''(u)]/u^2+[uf'(u)-y^2f'(u)/u+y^2f''(u)]/u^2
=f''(u)-f'(u)/u
2.f''(u)-f'(u)/u=0,解为：f'(u)=Cu
由f'(1)=1,C=1 f'(u)=u ,f(u)=u^2/2+C, f(1)=0,C=-1/2
所以：f(u)=u^2/2-1/2
设u=√(x^2+y^2). u'x=x/u u'y=y/u
1.z'x= f'(u)x/u, z''xx=[uf'(u)-x^2f'(u)/u+x^2f''(u)]/u^2
z'x= f'(u)y/u, z''yy=[uf'(u)-y^2f'(u)/u+y^2f''(u)]/u^2
由于z''xx+z''yy=0
0=[uf'(u)-x^2f'(u)/u+x^2f''(u)]/u^2+[uf'(u)-y^2f'(u)/u+y^2f''(u)]/u^2
=f''(u)-f'(u)/u
2.f''(u)-f'(u)/u=0,解为：f'(u)=Cu
由f'(1)=1,C=1 f'(u)=u ,f(u)=u^2/2+C, f(1)=0,C=-1/2
所以：f(u)=u^2/2-1/2
1年前
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你能帮帮他们吗