（2013•高淳县二模）如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．

（2013•高淳县二模）如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿射线OA运动，点Q以每秒1个单位的速度沿线段BC运动，当点Q运动到C点时，P、Q同时停止运动，动点P、Q运动时间为t秒．设线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥OA交AB于点E，射线QE交x轴于点F．
（1）当t为何值时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形？
（2）设以P、A、E、Q为顶点的四边形面积为S，求S关于运动时间t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？
白玉川A 1年前 已收到1个回答 举报
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月移花影 幼苗

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解题思路：（1）当且仅当PA=QB时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，利用t分别表示出PA和QB的长，即可得到关于t的方程，从而求解；
（2）过点Q作QG⊥xZHOU，垂足是G，过点E作EH⊥x轴，垂足是H，则QG=12．当0≤t≤
13
3]时，根据S=S△QPF-S△AEF，利用平行线分线段成比例定理表示出AF、EH的长，则可以得到函数解析式；当[13/3]＜t≤11时，S=S△QAF-S△EPF，类似上面的情况即可写出函数解析式，根据函数解析式的性质即可求得最大值；
（3）当QP=FQ时，则GP=GF，可以得到关于t的方程求得t的值；
当PQ=FP，则PQ2=FP2．在Rt△PGQ中利用勾股定理即可求解；
当FQ=FP时，有FQ2=FP2，在Rt△FGQ中利用勾股定理即可列方程，解方程求解．

（1）由已知QB=t（0≤t≤11），OP=3t，则0≤t≤[13/3]时，PA=13-3t；
当[13/3]＜t≤11时，PA=3t-13．
∵OA∥BC，
∴当且仅当PA=QB时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形．
∴13-3t=t或3t-13=t，解得：t=[13/4]或[13/2]；

（2）过点Q作QG⊥x轴，垂足是G，过点E作EH⊥x轴，垂足是H，则QG=12．
①当0≤t≤[13/3]时，S=S△QPF-S△AEF，
∵BC∥OA，DE∥OA，
∴[QB/AF]=[QE/EF]=[QD/DP]=[QB/OP]=[t/3t]=[1/3]．
故[EH/QG]=[EF/FQ]=[EF/EF+EQ]=[3/4]．
∴AF=3QB=3t，EH=[3/4]QG=[3/4]×12=9．
∴PF=OA+AF-OP=13+3t-3t=13．
∴S=[1/2]PF•QG-[1/2]AF•EH=[1/2]×13×12-[1/2]×3t×9=78-13.5t．
②当[13/3]＜t≤11时，S=S△QAF-S△EPF，
同①，类似有；AF=3t，PF=13，EH=9，
∴S=[1/2]AF•QG-[1/2]PF•EH=[1/2]×3t×12-[1/2]×13×9=18t-58.5．
由①②得：当t=11时，S=18×11-58.5=139.5是最大值；

（3）①若QP=FQ，则GP=GF，
∵GP=OG-OP=（11-t）-3t=11-4t，
GF=OF-OG=（3t+13）-（11-t）=2+4t，
∴11-4t=2+4t，即t=[9/8

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，正确利用方程思想是关键．

1年前

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