已知点F1、F2为双曲线C：x2−y2b2＝1(b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点

解题思路：（1）确定|MF₂|=b²，|MF₁|=2b²，由双曲线的定义可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2，从而可得双曲线C的方程；
（2）确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x₀，y₀），求出点P到两条渐近线的距离，利用P（x₀，y₀）在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论；
（3）分类讨论：①当切线l的斜率存在，设切线l的方程代入双曲线C中，利用韦达定理，结合直线l与圆O相切，可得|AB|=2|OM|成立；②当切线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，即可得到结论．

（1）设F₂，M的坐标分别为(
1+b2，0)，(
1+b2，y0)
因为点M在双曲线C上，所以1+b2−
y02
b2＝1，即y0＝±b2，所以|MF2|＝b2
在Rt△MF₂F₁中，∠MF1F2＝300，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2…（2分）
由双曲线的定义可知：|MF1|−|MF2|＝b2＝2
故双曲线C的方程为：x2−
y2
2＝1…（4分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为l1：
2x−y＝0；l2：
2x+y＝0…（5分）
设双曲线C上的点Q（x₀，y₀），设两渐近线的夹角为θ，则
则点Q到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝
|
2x0−y0|

3，|PP2|＝
|
2x0+y0|

3…（7分）
因为Q（x₀，y₀）在双曲线C：x2−
y2
2＝1上，所以2x02−y02＝2
又cosθ＝
1
3，
所以

PP1•

PP2=
|
2x0−y0|

3•
|
2x0+y0|

3cosθ＝
|2x02−y02|
3•
1
3＝
2
9…（10分）
（3）证明：由题意，即证：OA⊥OB．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线l的方程为：x₀x+y₀y=2…（11分）
①当y₀≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：(2y02−x02)x2+4x0x−(2y02+4)＝0
所以：x1+x2＝−
4x0
(2y02−x02)，x1x2＝−
(2y02+4)
(2y02−x02)
又y1y2＝
(2−x0x1)
y0•
(2−x0x2)
y0＝
1
y02[4−2x0(x1+x2)+x02x1x2]＝
8−2x02
2y02−x02…（13分）
所以

OA•

OB＝x1x2+y1y2＝−
(2y02+4)
(2y02−x02)+
8−2x02
2y02−x02＝
4−2(x02+y02)
2y02−x02＝0…（15分）
②当y₀=0时，易知上述结论也成立．所以

OA•

OB＝x1x2+y1y2＝0…（16分）
综上，OA⊥OB，所以|

AB|＝2|

OM|．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．