已知函数f（x）=lnx-[1/2ax2-2x（a≠0）．

已知函数f（x）=lnx-[1/2ax2

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解题思路：（1）先求导函数，由于函数的定义域为（0，+∞），故当a≤-1时，f′（x）≥0，从而f（x）在（0，+∞）上是增函数，当-1＜a时，由导数等于0得x＝

−1±

1+a

，再利用导数大于0得增区间，导数小于0得减区间；
（2）由函数f（x）有极值点x₀，可知ax₀²=1-2x₀，从而f（x₀）=lnx₀-[1/2(1−2x0)−2x0＝lnx0−x0−

2]．
设φ(x)＝lnx−x−

，则问题转化为求φ（x）的最大值，故得证；
（3）若f′（

x1+x2

）=0，则[2

x1+x2

−a

x1+x2/2]-2=0．由方程f（x）=3有两个不相等的实根x₁，x₂，则lnx₁-

ax12−2x1＝3，lnx2−

ax22−2x2=3．故有ln

＝

2(1−

)

令

＝t，则t＞1．设H(t)＝lnt−

2(1−t)

1+t

．所以H′（t）=

(1+t)2

＞0，所以H（t）＞H（1）=0，从而

2(1−

)

≠ln

，即可得结论．

（1）f′（x）=1x−ax−2＝−ax2+2x−1x．若a≤-1时，则f′（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．若-1＜a＜0时，则f（x）在（0，−1+1+aa)，(−1−1+aa，(−1+1+aa+∞）上是增函数，在（−1+1+aa，−1−1+aa）...

点评：
本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查学生会利用导函数的正负确定原函数的单调区间，会根据函数的增减性求出函数的最值，掌握导数在函数最值中的应用，有一定的难度

1年前

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