如图，双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆O与双曲线交于A、

解题思路：（1）由|F₁F₂|=2可求得P（0，1），设H（0，m），由

OH

=（3+2

3

）

HP

可求得m，从而可求得A点的坐标，代入双曲线方程，得到a，b的关系式，与a²+b²=1联立即可求得双曲线的方程；
（2）设焦距为2c，则P（0，c），设H（0，n），同理可求得（[b/a]）²=3+2

3

⇔

a2+b2

a2

=

c2

a2

=e²=4+2

3

，从而可得双曲线的离心率．

（1）由|F₁F₂|=2得圆O的半径为1，故P（0，1），设H（0，m）．
∵

OH=（3+2
3）

HP=（3+2
3）（0，1-m），
∴m=（3+2
3）（1-m），解得m=

3
2，
故A（x，

3
2），由|OA|=1得x=[1/2]，
∴A（[1/2]，

3
2）．
∵点A（[1/2]，

3
2）在双曲线上，
∴[1
4a2-
3
4b2=1，
又∵焦距为2，
∴a²+b²=1，解得a²=1-

3/2]，b²=

3
2，
故双曲线的方程为
x2
1−

3
2-
y2


3
2=1．
（2）设焦距为2c，则P（0，c），设H（0，n）．
∵

OH=（3+2
3）

HP=（3+2
3）（0，c-n），
∴n=（3+2
3）（c-n），解得n=

3
2c，
即H（0，

3
2c）．
由A（x₀，

3
2c）在圆上得x₀=[1/2]c，
∴A（[1/2]c，

3
2c），
∴将A（[1/2]c，

3
2c）代入双曲线方程得
c2
4a2-
3c2
4b2=1，
又∵a²+b²=c²，化简得3a⁴+6a²b²-b⁴=0，
即（[b/a]）⁴-6（[b/a]）²-3=0，
∴（[b/a]）²=3+2
3，
∴e²=[c2/a2]=1+[b2/a2]=4+2
3，
故双曲线的离心率为e=
3+1．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的标准方程与离心率，考查向量的坐标运算，考查方程思想与综合分析与运算能力，属于难题．