高等代数综合题:已经知道欧氏空间R^3的一个线性变换σ:对任意的(x1,x2,x3)∈R^3

由已知,σ(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)A
A=
2 1 1
1 2 1
1 a 2
|A-λE|=
2-λ 1 1
1 2-λ 1
1 a 2-λ
r1-r2
1-λ λ-1 0
1 2-λ 1
1 a 2-λ
c2+c1
1-λ 0 0
1 3-λ 1
1 a+1 2-λ
= (1-λ)[(3-λ)(2-λ)-(a+1)]
= (1-λ)(λ^2-5λ-a+5).
(1)若1是A的2重特征值,则 1-5-a+5=0,得 a=1.
此时 A 是实对称矩阵,可对角化,故 σ 可以对角化.
(2)若1不是A的2重特征值,则 5^2-4(5-a)=0,得 a=5.
此时A的特征值为 1,5,0,A可对角化,故 σ 可以对角化.