已知函数y=kx与y=x 2 +2（x≥0）的图象相交于A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），l 1 ，l

（I）由方程

y=kx
y= x 2 +2 消y得x ² -kx+2=0．①
依题意，该方程有两个正实根，
故

△= k 2 -8＞0
x 1 + x 2 =k＞0 解得k＞2
2 ．
（II）由f′（x）=2x，求得切线l ₁ 的方程为y=2x ₁ （x-x ₁ ）+y ₁ ，
由y ₁ =x ₁ ² +2，并令y=0，得t=
x 1
2 -
1
x 1 ，x ₁ ，x ₂ 是方程①的两实根，
且x ₁ ＜x ₂ ，故x ₁ =
k-
k 2 -8
2 =
4
k+
k 2 -8 ，k＞2
2 ，
x ₁ 是关于k的减函数，所以x ₁ 的取值范围是 (0，
2 ) ．
t是关于x ₁ 的增函数，定义域为 (0，
2 ) ，所以值域为（-∞，0）．
（III）当x ₁ ＜x ₂ 时，由（II）可知|OM|=|t|=-
x 1
2 +
1
x 1 ．
类似可得|ON|=
x 2
2 -
1
x 2 ．|OM|-|ON|=-
x 1 + x 2
2 +
x 1 + x 2
x 1 x 2 ．
由①可知x ₁ x ₂ =2．
从而|OM|-|ON|=0．
当x ₂ ＜x ₁ 时，有相同的结果|OM|-|ON|=0．
所以|OM|=|ON|．