如图1，点E是矩形ABCD边BC的中点，将△ABE沿AE翻折得△AFE

解题思路：（1）连接BF，过点F作FH⊥BC于H，先由正切函数的定义设FH=4k，则EH=3k，由勾股定理，得EF=5k，由折叠的性质得EC=BE=EF=5k，CH=2k，BF⊥AE，再根据勾股定理的逆定理得出∠BFC=90°，然后由两角对应相等的两三角形相似证明△FHC∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得到[FC/AE]=[HC/BE]，即可求出FC的长；
（2）先由两角对应相等的两三角形相似证明△BEG∽△AEB，得出[BE/AE]=[GE/BE]，由BE=CE，得到[CE/AE]=[GE/CE]，又∠CEG=∠AEC，则△CEG∽△AEC，则∠CGE=∠ACE=∠AGN，再根据等角的余角相等得出∠MAB=∠NGB，又∠ABM=∠GBN，则△ABM∽△GBN，即可得出∠BNG=∠AMG．

（1）如图1，连接BF，过点F作FH⊥BC于H，则∠FHE=∠FHC=90°．
∵tan∠FEC=[4/3]，
∴设FH=4k，则EH=3k，
在Rt△HEF中，由勾股定理，得EF=5k．
∵点E是矩形ABCD边BC的中点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，
∴EC=BE=EF=5k，CH=2k，BF⊥AE．
在Rt△HCF中，由勾股定理，得FC²=FH²+HC²=16k²+4k²=20k²，
在Rt△HBF中，由勾股定理，得FB²=FH²+BH²=16k²+64k²=80k²，
∵BC²=100k²，
∴FC²+FB²=BC²，
∴∠BFC=90°，CF⊥BF，
∵BF⊥AE，
∴CF∥AE，
∴∠FCH=∠AEB，
又∵∠FHC=∠ABE，
∴△FHC∽△ABE，
∴[FC/AE]=[HC/BE]，即
FC
5
5=[2k/5k]，
∴FC=2
5；

（2）证明：如图2，由（1）知BF⊥AE，
∴∠BGE=90°，
∴∠BGE=∠ABE=90°，
又∵∠BEG=∠AEB，
∴△BEG∽△AEB，
∴[BE/AE]=[GE/BE]，
∵BE=CE，
∴[CE/AE]=[GE/CE]，
又∵∠CEG=∠AEC，
∴△CEG∽△AEC，
∴∠CGE=∠ACE=∠AGN．
∵∠ACE+∠MAB=90°，∠AGN+∠NGB=90°，
∴∠MAB=∠NGB，
又∵∠ABM=∠GBN，
∴△ABM∽△GBN，
∴∠BMA=∠BNG，
即∠BNG=∠AMG．

点评：
本题考点： 四边形综合题．

考点点评： 本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，折叠的性质，平行线的判定与性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，余角的性质等知识，综合性较强，难度较大．准确作出辅助线是解题的关键．