设a，b，c是不全相等的任意整数，若x=a2-bc，y=b2-ac，z=c2-ab．求证：x，y，z中至少有一个大于零．

解题思路：首先假设x，y，z都小于0，进而利用由题意x=a²-bc，y=b²-ca，z=c²-ab，将x，y，z相加，然后根据完全平方式的性质，进行求解．

证明：假设x，y，z都小于0，
∵x=a²-bc，y=b²-ca，z=c²-ab，
∴2（x+y+z）=2a²-2bc+2b²-2ca+2c²-2ab=（a²-2ab+b²）+（b²-2bc+c²）+（a²-2ca+c²）=（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²＜0，
∴这与（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0矛盾，
故假设不成立，
∴x，y，z中至少有一个大于零．

点评：
本题考点： 反证法．

考点点评： 此题主要考查了反证法的应用，正确运用配方法是解题关键．

假设X,Y,Z都小于或等于0
所以x+y+z≤0
x+y+z=a^2+b^2+c^2-bc-ac-ab
2(x+y+z)=2a^2+2b^2+2c^2-2bc-2ac-2ab=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)
即2(x+y+z)=（a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2≥0，当且仅当a=b=c时取等，且a,b,...

证明假设x、y、z均小于0；
则由x=a²-bc，y=b²-ac，z=c²-ab知
x+y+z=a²-bc+b²-ac+c²-ab=1/2{(a-b)(a-b)+(b-c)(b-c)+(c-a)(c-a)}>=0
显然这个与假设矛盾
故知x、y、z中至少有一个大于零
不好编辑公式 相信你也看得懂 见笑了