矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.E、F分别为线段BO、CO上的两动点,G为AD中点,GE、GF分别与AC、BD
矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.E、F分别为线段BO、CO上的两动点,G为AD中点,GE、GF分别与AC、BD交于P、Q两点.（1）当F与O重合时,E与B重合时,恰有BG⊥AC.求证：△APG∽△DGO.（2）当∠EGF满足什么条件时,△APG∽△DGQ（相似比不为1）,说明理由.（3）当矩形ABCD为边长为4根号2的正方形,且E运动到使AP=3时,在△APG∽△DGQ（相似比不为1）的条件下,求DQ的长
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作图略.
1）由于G为AD中点,故OG⊥AD,可知∠OGD=∠APG=90°；
且∠OAG=∠ODG(△OAD为等腰三角形),故可得△APG∽△DGO（两三角形两内角相等）
2）若△APG∽△DGQ,并且相似比不为1.已知∠PAG=∠QDG（由第一
问）,则∠AGP=∠GQD（因为若∠AGP=∠QGD,相似比为1,即△APG≌△DGQ）；
进一步推出∠APG=∠QGD；
在直线AGD上：∠EGF=180°-∠AGP-∠QGD=180°-∠AGP-∠APG（∠QGD=∠APG）；
在△APG内：∠A=180°-∠AGP-∠APG;（对比上排的式子）
故∠EGF=∠A时,△APG∽△DGQ（相似比不为1）；
3）△APG∽△DGQ（相似比不为1）时,∠AGP=∠GQD且∠APG=∠QGD；
故有AG/QD=AP/GD; 即2*√2/QD=3/2*√2,算出QD=8/3.
1）由于G为AD中点,故OG⊥AD,可知∠OGD=∠APG=90°；
且∠OAG=∠ODG(△OAD为等腰三角形),故可得△APG∽△DGO（两三角形两内角相等）
2）若△APG∽△DGQ,并且相似比不为1.已知∠PAG=∠QDG（由第一
问）,则∠AGP=∠GQD（因为若∠AGP=∠QGD,相似比为1,即△APG≌△DGQ）；
进一步推出∠APG=∠QGD；
在直线AGD上：∠EGF=180°-∠AGP-∠QGD=180°-∠AGP-∠APG（∠QGD=∠APG）；
在△APG内：∠A=180°-∠AGP-∠APG;（对比上排的式子）
故∠EGF=∠A时,△APG∽△DGQ（相似比不为1）；
3）△APG∽△DGQ（相似比不为1）时,∠AGP=∠GQD且∠APG=∠QGD；
故有AG/QD=AP/GD; 即2*√2/QD=3/2*√2,算出QD=8/3.
1年前
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