在标号为1,2,...100的黑色布袋中装有一些完全一样的小球,如果每次提问允许问其中任意15袋

2009年全国初中数学竞赛预赛
九年级试题参考答案
题号 一 二 三 总 分
5 10 11 12 13 14
得分
注意：考试时间为120分钟,试卷满分为120分.
一、选择题（每小题6分,共30分,以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内）
1.设 ＞ ＞ ＞ ,,,则 之间的关系是:（ D ）
＞ ＞ ＞ ＞
＞ ＞ ＞ ＞
2.如图,已知D、E分别是 的AB、 AC边上的点,且
那么 等于（ B ）
::
::
3.甲乙丙丁四位同学站成一横排照相,如果任意安排四位同学的顺序,那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（ A ）
4.如图,AB是半圆O的直径,四边形CDMN和DEFG都是
正方形,其中C,D,E在AB上,F ,N在半圆上.若AB=10,则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（ A ）
5.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为 与 ,则第三边长是 ;②若点 在第三象限,则点 在第一象限;③函数 的图象平移后可以和函数 的图象重合;④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:（ C ）
个 个 个 个
二、填空题（每小题6分,共30分,直接将答案填在题后横线上）
6.规定一种运算“ ”：对于任意实数对 恒有 .若实数 满足 则 －1 ,1
7.名同学参加夏令营活动,需要同时搭建可容纳 人和 人的两种帐篷,则有效搭建方案共有 8 种.
8.平面直角坐标系中,⊙ 的圆心在坐标原点,半径为 ,点 的坐标为 ,直线 为⊙ 的切线,为切点.则 点的坐标为 （2,0）、（－1,）
9.如图,点A、C在反比例函数 的图象上,
B、D在 轴上,△OAB,△BCD均为正三角形,则点C
的坐标是 ..
10.不定方程 的所有整数解为 （－1,3）、（5,1）、（1,5）、（3,－1） .
三、解答题（共4个小题,每个小题15分,满分60分）
11．已知实数 、 、 满足 及 ,求 的值.
以 为根的二次方程 ,其中……………………5分
…………………………8分
所以 ,代入求得 …………………………10分
则 …………………………15分
12．在边长为 的正方形 的边 上取点 ,边 上取点 ,边 上取点 ,边 上取点 .如果 ,求 的值.
如图,将正方形 绕点 顺时针旋转 .……………………2分
则正方形 变到正方形 的位置,线段 变为 ………4分
…………………………6分
由 可得 ‖ …………8分
所以 ………………10分
则
…………………………15分
13．已知以 、 、 三点为顶点的三角形被直线 分成两部分,设靠近原点 一侧那部分的面积为 ,试写出用 表示的 的解析式.
易知直线 的方程为 …………………………2分
直线 过定点 .分两种情况讨论：…………………………3分
（1）直线 与线段 相交,设交点为 ,则靠近原点 一侧的图形是三角形.在方程 中,令 ,得 ＞ ,所以
…………………………6分
由 ＜ ,所以 ＜
得到 ＜ …………………………8分
（2）直线 与线段 相交,设交点为 ,则靠近原点 一侧的图形是四边形.由 解得 点坐标为 ……9分
所求四边形面积为
………………………11分
由 在线段 上,所以 解得 或 ＞
所以 ……………………………14分
综合（1）（2）得 ……………………………15分
14．在标号为 的黑色布袋中装有一些完全一样的小球,如果每次提问允许问其中任意 袋中所有小球数的奇偶性.那么要确定 号袋中小球数的奇偶性,至少需要提问几次?
至少需要提问3次.……………………3分
首先说明3次提问是足够的.例如：
第一次为：,；
第二次为：
第三次为：
其中 表示第 袋中小球的数目,这样3个答案之和的奇偶性与 的奇偶性相同（其余每袋在3次提问中各恰好出现2次）.………………………………9分
再证至少需要3次提问.如果提问只有2次,且2次中都出现 ,那么在两次提问中必有 和 ,使得 只在第一次提问中出现,而 只在第二次提问中出现,这样同时改变 、 、 的奇偶性,每次答案是相同的,从而不能确定 的奇偶性.如果两次中不都出现 ,在 都不出现时,改变 的奇偶性；在 只出现一次时,改变 与 （这里 是与 同时出现的某袋小球）的奇偶性,那么两次答案仍是相同的,不能确定 的奇偶性.
综上可知,至少需要提问3次.………………………………15