设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）

解题思路：（1）先利用定积分求出a=1，f′（x）=[1/x]-[1/2−x]+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间，从而得出m的取值范围．
（2）函数在区间（0，1]上的最值问题，利用导数研究其单调性，结合极值点和端点的比较得到其最值，即可确定待定量a的值．

对函数求导得：f′(x)＝
1
x−
1
2−x+a，定义域为（0，2）
（1）由于a＝
∫
π
20(cos2
x
2−sin2
x
2)dx=
∫
π
20(cosx)dx＝sinx|

π
20=1
当a=1时，f′（x）=[1/x]-[1/2−x]+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜
2时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，
2＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，
2），单调减区间为（
2，2），
若f（x）在（0，m]上是单调函数，则m≤
2．
∴m的取值范围：0＜m≤
2．
（2）当x∈（0，1]时，f′(x)＝
1
x−
1
2−x+a＞0，
得（0，1]为单调递增区间．
从而最大值在右端点取到．fmax＝f(1)＝a＝
1
2
所以a=[1/2]．

点评：
本题考点： 定积分；对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 考查定积分、利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识．