（2011•台州一模）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为63，并与直线y=x+2相切．

解题思路：（Ⅰ）通过离心率得到a、b关系式，设出椭圆C的方程，利用直线y=x+2与椭圆相切，△=0．由此得b²=1；求出椭圆方程即可．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）．当x0＝±

3

时，有一条切线斜率不存在，证明m⊥n．
设x0≠±

3

，则两条切线斜率存在．设直线m的斜率为k，则其方程为y-y₀=k（x-x₀），联立

x2

3

+y2＝1，由△=0可得：(3−

x

2 0

)k2+2x0y0k+1−

y

2 0

＝0，由韦达定理得到k1k2＝

1− y 2 0

3− x 2 0

，由于点P在圆D：x²+y²=4上，得到3−

x

2 0

＝−(1−

y

2 0

)，即可证明m⊥n．

（Ⅰ）由e＝

6
3知a²=3b²，
椭圆方程可设为
x2
3b2+
y2
b2＝1．又直线y=x+2与椭圆相切，代入后方程4x²+12x+12-3b²=0满足△=0．由此得b²=1．
故椭圆C的方程为
x2
3+y2＝1．----------------（6分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）．当x0＝±
3时，有一条切线斜率不存在，此时，刚好y₀=±1，可见，另一条切线平行于x轴，m⊥n；----------------（7分）
设x0≠±
3，则两条切线斜率存在．设直线m的斜率为k，则其方程为y-y₀=k（x-x₀）
即y=kx+y₀-kx₀．代入
x2
3+y2＝1并整理得：(1+3k2)x2+6k(y0−kx0)x+3(y0−kx0)2−3＝0．---------------（9分）
由△=0可得：(3−
x20)k2+2x0y0k+1−
y20＝0---------------（11分）
注意到直线n的斜率也适合这个关系，所以m，n的斜率k₁，k₂就是上述方程的两根，由韦达定理，k1k2＝
1−
y20
3−
x20．---------------（13分）
由于点P在圆D：x²+y²=4上，3−
x20＝−(1−
y20)，所以k₁k₂=-1．这就证明了m⊥n．
综上所述，过圆D上任意一点P作椭圆C的两条切线m，n，总有m⊥n．------（15分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，直线与圆的位置关系，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．