2-cosx/sinx的值域

【1】易知,原式y=(2-cosx)/sinx=[2-cos(-x)]/[0-sin(-x)].
∵点P(cos(-x),sin(-x))是单位圆上的任意一点,Q(0,2)是一个定点.
∴原式的几何意义就是：过定点Q与单位圆上的一动点P的直线PQ的斜率k.
【2】数形结合可知,当直线PQ与单位圆相切时,斜率k可以取得极值.
可设直线PQ：y=kx+2.与单位圆：x ²+y ²=1联立可得：
（1+k ²）x ²+4kx+3=0.
∴⊿=16k ²-12(1+k ²)=0.
∴k=±√3.
∴数形结合可知,原式的取值范围是：(-∞,- √3 ] ∪[√3,+ ∞）

2-cosx/sinx = 2- 1/tanx
∵tanx≠0
∴原式≠2
∴值域为（-∞，2）∪（2，+∞）

原式=2-cotx，而cotx的值域是-∞到+∞，所以它的值域是（-∞，+∞）。

设(2-cosx)/sinx=k，则：
ksinx+cosx-2=0，所以
√(k^2+1)*sin(x+t)-2=0 ，( cost=k/√(k^2+1), sint=1/√(k^2+1) )
√(k^2+1)=2/sin(x+t)>=2，
k^2+1>=4，
所以k<=-√3，或k>=√3，
故所求函数的值域为：(-∞，- √3 ] ∪[√3，+ ∞）。