计算二重积分∫∫Dx2+y2dxdy，其中积分区域D是由直线x=1，y=0及曲线y=2−x2在第一象限内围成的区域．

解题思路：由于被积函数有平方和的形式，因此首先考虑用极坐标系下的二重积分的计算方法，从而需要把积分区域化成极坐标的形式，再将二重积分化成累次积分，即可求出来．

积分区域如右图阴影部分所示．
利用极坐标计算该二重积分：
∫∫
D
x2+y2dxdy．
由于直线x=1在极坐标下的方程为r=secθ，故对r分时的上下限分别为
2与secθ．
在直线x=1与曲线y＝
2−x2的交点（1，1）处，θ的取值为[π/4]，故θ的积分上下限分别为[π/4]与0．
则积分区域D={（r，θ）|0≤θ≤
π
4，secθ≤r≤
2}
故原式=
∫
π
40dθ
∫
2secθr2dr=
1
3
∫
π
40(2

点评：
本题考点： 利用极坐标系计算二重积分；分部积分法；二重积分的计算．

考点点评： 极坐标系下的积分上限确定，也同样可以依靠口诀“域中一线插，内限定上下；域边两线夹，外限依靠它”，只是极坐标系下的线，是过极点的射线．另外此题还考查了∫sec3θdθ的计算．