复变函数论问题钟玉泉《复变函数论》（第三版）第162页,定理4.16,“幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点”的证

复变函数论问题
钟玉泉《复变函数论》（第三版）第162页,定理4.16,“幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点”的证明.见所附图片.

1、为什么强调“选取‘有限个’圆将C覆盖”?
2、如下构造圆K'可否?如果F(z)在圆周C上及其内部K解析,那么F(z)在包含C及其内部K的开区域G内解析,设ρ为C到
G边界距离（显然ρ>0）,那么F(z)在较圆K大的同心圆K'：|z-a|么要用那么复杂而难以理解的方法?

ying865192 1年前 已收到1个回答 举报
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marry0258 花朵

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你把书上的证明完全理解了再说,先不要急于用你的“证明”去取代.
使用有限开覆盖定理的目的很清楚,主要是为了严格证明ρ>0.由于G由有限个圆构成,它的结构不可能太过复杂,因为其边界是分段光滑的曲线.作为练习,你必须首先学会把ρ>0的证明补齐.
反过来再看你的构造,满足你的要求的G可以非常复杂,不可能得到ρ>0的结论.
不妨考虑相对简单一点的情形——G是一个非均匀齿轮,有可列个齿.假定G的第n个齿离C的距离是1/n,那么1/n>=ρ>0是不可能恒成立的.

1年前

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