如图所示,一窗户上部分是半圆,下部是矩形,如果窗户的面积一定,求窗户周长最小时,X与Y的比值是多少?
如图所示,一窗户上部分是半圆,下部是矩形,如果窗户的面积一定,求窗户周长最小时,X与Y的比值是多少?
就是弧形窗户的形状.
矩形两侧的边长是H,下面得边长和半圆的直径相等,是2x
就是弧形窗户的形状.
矩形两侧的边长是H,下面得边长和半圆的直径相等,是2x
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设半圆的半径为R,矩形的高为h,窗户的面积为S
S-πR^2/2=2R*h,所以：h=(S-πR^2/2)/2R-------(1)
而窗户的周长L=πR+2R+2h,代入(1)式整理可得：
（π+4)R^2-2LR+2S=0
这是关于R的一元二次方程,要使R有解,判别式
△=4L^2-8(π+4)>=0,变形可得：
L>=√(2π+8),即周长有最小值：L=√(2π+8)
此时,△=0,方程的解是：
R=-b/(2a)=2L/(π+4)=2√(2π+8)/(π+4)=2√2/√(π+4)
由(1)式,可得：
h=(S-πR^2/2)/2R={S-π*[2√2/√(π+4)]^2}/[2*2√2/√(π+4)]=4√2*[(S-8)π+4S]/√(π+4)
所以,R:L=1:2[(S-8)π+4S]
S-πR^2/2=2R*h,所以：h=(S-πR^2/2)/2R-------(1)
而窗户的周长L=πR+2R+2h,代入(1)式整理可得：
（π+4)R^2-2LR+2S=0
这是关于R的一元二次方程,要使R有解,判别式
△=4L^2-8(π+4)>=0,变形可得：
L>=√(2π+8),即周长有最小值：L=√(2π+8)
此时,△=0,方程的解是：
R=-b/(2a)=2L/(π+4)=2√(2π+8)/(π+4)=2√2/√(π+4)
由(1)式,可得：
h=(S-πR^2/2)/2R={S-π*[2√2/√(π+4)]^2}/[2*2√2/√(π+4)]=4√2*[(S-8)π+4S]/√(π+4)
所以,R:L=1:2[(S-8)π+4S]
1年前
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