(b-c)lnx+(c-a)lny+(a-b)lnz=0,且x,y,z构成等比数列,求证a,b,c为等差数列

mhy5453 1年前 已收到3个回答 举报
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shudong_liao 幼苗

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x,y,z构成等比数列,则y²=xz,
2lny=lnx+lnz,
即lnx-2lny+lnz=0,
对比(b-c)lnx+(c-a)lny+(a-b)lnz=0,
设b-c=t,
则a-b=t,
所以a,b,c为等差为-t的等差数列.t∈R.

1年前

1

AXJLMG 幼苗

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显然x、y、z均为正数。
因为x，y，z成等比数列，设y=xq，z=xq^2，
代入已知等式得 (b-c)lnx+(c-a)ln(xq)+(a-b)ln(xq^2)=0
所以 (b-c)lnx+(c-a)lnx+(c-a)lnq+(a-b)lnx+2(a-b)lnq=0
化简得 （c-a+2a-2b)lnq=0 即 （a+c-2b)lnq=0
所以 a+c...

1年前

2

jijila1 幼苗

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设等比为q，
(b-c)lnx+(c-a)ln(xq)+(a-b)ln(xq^2)
=(b-c)lnx+(c-a)lnx+(c-a)lnq+(a-b)lnx+2(a-b)lnq
=(a-2b+c)lnq
=0
所以a+c=2b
所以a，b，c为等差数列

1年前

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