怎样证明下面的结论:对于任一n阶矩阵A,总存在n阶矩阵B、C,使得A=BC-CB.

bryantsbright 1年前 已收到1个回答 举报

东方吹雪 幼苗

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结论是错的,比如A取单位阵就是一个反例,因为tr(BC-CB)=0但tr(A)>0
事实上当且仅当tr(A)=0时才能写成BC-CB的形式

1年前 追问

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bryantsbright 举报

您说得对。但怎样证明trA=0时,A总能表示成BC-CB的形式?(我只会证A的对角线元素全为0时的情况:设B=diag(1,2,...,n),则C可相应选取)

举报 东方吹雪

对于trA=0,用反证法可以证明必存在可逆矩阵X使得X^{-1}AX的对角元全为零。然后就化到你会证的情况了。
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